Dans le présent texte, nous présentons une brève introduction aux géométries non euclidiennes. Nous commençons par présenter les fondements de la géométrie classique, et la discussion qui a donné naissance à d'autres géométries.

Nous voyons un très vieil exemple de tentative de preuve du cinquième postulat d'Euclide dû à Proclus et reprenons une partie du travail de Sacheri, pour ensuite poursuivre avec les réalisations de Lobachevski.

En termes simples, la géométrie à laquelle nous sommes habitués, celle que l'on nous enseigne depuis les études de base, est la géométrie dite classique, qui suit certaines idées que l'on prend pour des faits vrais et à partir desquels on construit la véracité d'autres faits. En particulier, le cinquième postulat établit l'existence de lignes dites parallèles, qui sont celles qui ne se coupent jamais.

La géométrie est née du besoin de comprendre le monde qui nous entoure, et de là sont nés les axiomes de la géométrie euclidienne, mais ils n'étaient pas tout à fait exacts. Par exemple, dans l'art, nous voyons que les lignes parallèles sont parfois représentées comme des lignes qui se croisent à l'horizon, au point dit de fuite.

Outre les géométries non euclidiennes, nous voyons d'autres exemples de géométrie, les fameuses frises et mosaïques.

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